Question

5．如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，點B落在點E處，P、Q分別是AD、EC的中點，PQ交AE、CD于點M、N，若AB=4，AD=3，求線段MN的長．

Answer 1

分析 如圖首先根據條件證明DE∥AC，再證明AM∥HN，得四邊形MNHA是平行四邊形，利用面積法求出高DH，利用勾股定理求出AH，根據MN=AH可以解決問題．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，AD=3，AB=4，
∴AD=BC=3，AB=DC=4，CD∥AB，∠B=90°
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5cm，∠2=∠3，
∵將矩形ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在點E處，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AF=CF，∵AE=CD，
∴DF=EF，
∴∠4=∠5，
∴∠1=∠5=∠4=∠3，
∴DE∥AC，
∵AD=CE=3cm，且AD與CE不平行，
∴四邊形ACED是等腰梯形，
過點D、E分別作DH⊥AC于點H，
在Rt△ACD中，$\frac{1}{2}$DH•AC=$\frac{1}{2}$AD•DC，則DH=$\frac{12}{5}$，在Rt△ADH中，AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∵DE∥AC，DP=AP，EQ=QC
∴DE∥PQ∥AC，DN=NC，
∵∠DHC=90°，
∴HN=NC=DN，
∴∠3=∠NHC=∠1，
∴NH∥AM，
∵MN∥AH，
∴四邊形MNHA是平行四邊形，
∴MN=AH=$\frac{9}{5}$．

點評 本題主要考查的是翻折的性質、等腰三角形的性質和判定、平行四邊形的判定和性質、勾股定理、面積法的應用，由翻折的性質找出相等的角或邊是解題的關鍵．