Question

5．如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，∠CDA=∠CBD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若AB=6，tan∠CDA=$\frac{2}{3}$，依題意補全圖形并求DE的長．

Answer 1

分析 （1）連OD，OE，根據圓周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；
（2）根據切線的性質得到ED=EB，OE⊥BD，則∠ABD=∠OEB，得到tan∠CDA=tan∠OEB=$\frac{OB}{BE}$=$\frac{2}{3}$，易證Rt△CDO∽Rt△CBE，得到$\frac{CD}{CB}=\frac{OD}{BE}=\frac{OB}{BE}$=$\frac{2}{3}$，
求得CD，然后在Rt△CBE中，運用勾股定理可計算出BE的長，由切線長定理即可得DE的長．

解答 （1）證明：連OD，OE，如圖1所示，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
即∠ADO+∠BDO=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
而∠CBD=∠BDO，
∴∠BDO=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，
即∠CDO=90°，
∴CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：如圖2所示：
∵EB為⊙O的切線，
∴ED=EB，OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB，
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA=$\frac{2}{3}$，
∴tan∠OEB=$\frac{OB}{BE}$=$\frac{2}{3}$，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{OD}{BE}=\frac{OB}{BE}$=$\frac{2}{3}$，
∴CD=$\frac{2}{3}$×6=4，
在Rt△CBE中，設BE=x，
∴（x+4）²=x²+6²，
解得：x=$\frac{5}{2}$．
即BE的長為$\frac{5}{2}$，
∴DE=BE=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了切線的判定與性質、圓周角定理的推論、三角形相似的判定與性質、勾股定理；熟練掌握切線的判定與性質，由三角函數和證明三角形相似是解決問題（2）的關鍵．