Question

20．【提出問題】
（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN．求證：CN∥AB．
【類比探究】
（2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論CN∥AB還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質得出AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN，進而得出∠BAM=∠CAN，即可判斷出△ABM≌△ACN（SAS），得出∠ACN=∠ABM=60°，
進而得出∠BCN+∠ABM=180°即可得出結論；
（2）同（1）的方法即可得出結論．

解答 （1）證明：
∵△ABC和△AMN都是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠CAN，
∴∠BAM=∠CAN，
在△ABM和△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAN=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠ACN=∠ABM=60°，
∵∠ACB=60°
∴∠BCN+∠ABM=180°；
∴CN∥AB，
（2）成立，
理由如下：
∵△ABC和△AMN都是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAC+∠CAM=∠CAM+∠MAN，
∴∠BAM=∠CAN
在△ABM和△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAN=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠ACN=∠ABM=60°，
∵∠ACB=60°
∴∠BCN+∠ABM=180°；
∴CN∥AB．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，等式的性質，全等三角形的判定和性質，平行線的性質，解本題的關鍵是用等式的性質得出∠BAM=∠CAN
借助（1）的方法解決（2），是一道中等難度的中考常考題．