Question

12．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內作等邊三角形AOB，點C為x正半軸上一動點（OC＞1），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內作等邊△CBD，連接DA并延長，交y軸于點E．
①△OBC與△ABD全等嗎？判斷并證明你的結論；
②當點C運動到什么位置時，以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）先根據等邊三角形的性質得∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，則∠OBC=∠ABD，然后可根據“SAS”可判定△OBC≌△ABD；
（2）先根據全等三角形的性質以及等邊三角形的性質，求得∠EAC=120°，進而得出以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形時，AE和AC是腰，最后根據Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，求得AC=AE=2，據此得到OC=1+2=3，即可得出點C的位置．

解答 解：（1）△OBC≌△ABD．
證明：∵△AOB，△CBD都是等邊三角形，
∴OB=AB，CB=DB，∠ABO=∠DBC，
∴∠OBC=∠ABC，
在△OBC和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=AB}\\{∠OBC=∠ABC}\\{CB=DB}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；

（2）∵△OBC≌△ABD，
∴∠BOC=∠BAD=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠AOE=180°-60°-60°=60°，
∴∠EAC=120°，∠OEA=30°，
∴以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形時，AE和AC是腰，
∵在Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，
∴AE=2，
∴AC=AE=2，
∴OC=1+2=3，
∴當點C的坐標為（3，0）時，以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質的運用．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．解決本題的關鍵是利用等腰三角形的性質求出點C的坐標．