Question

15．已知拋物線y=x²-2x-a（a＞0）與y軸相交于點A，頂點為M，直線y=$\frac{1}{2}$x+a分別與x軸、y軸相交于點B、C兩點，且與直線AM相交于點N．
（1）填空：用含a的代數式分別表示點M與N的坐標，得M（1，-a-1），N（-$\frac{4}{3}$a，$\frac{1}{3}$a）；
（2）如圖，將△NAC沿y軸翻折，若點N的對應點N′恰好落在拋物線上，AN′與x軸交于點D，連結CD，求a的值和△CDN′的面積；
（3）在拋物線y=x²-2x-a（a＞0）上是否存在一點P，使得以P、A、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知了拋物線的解析式，不難用公式法求出M的坐標為（1，-a-1）．由于拋物線過A點，因此A的坐標是（0，-a）．根據A，M的坐標，用待定系數法可得出直線AM的解析式為y=-x-a．直線AM和y=$\frac{1}{2}$x+a聯立方程組即可求出N的坐標．
（2）根據折疊的性質不難得出N與N′正好關于y軸對稱，得出N′的坐標．由于N′在拋物線上，因此將N′的坐標代入拋物線的解析式中即可得出a的值．也就能確定N，C的坐標．求出△ANC和△ADC的面積，即可得出△CDN的面積；
（3）本題可分兩種情況進行討論：
①當P在y軸左側時，如果使以P，N，A，C為頂點的四邊形為平行四邊形，那么P需要滿足的條件是PN平行且相等于AC，也就是說，如果N點向上平移AC個單位即2a后得到的點就是P點．然后將此時P的坐標代入拋物線中，如果沒有解說明不存在這樣的點P，如果能求出a的值，那么即可求出此時P的坐標．
②當P在y軸右側時，P需要滿足的條件是PN與AC應互相平分（平行四邊形的對角線互相平分），那么NP必過原點，且關于原點對稱．那么可得出此時P的坐標，然后代入拋物線的解析式中按①的方法求解即可．

解答 解：（1）M（1，-a-1），N（-$\frac{4}{3}$a，$\frac{1}{3}$a）；
故答案為：1，-a-1；-$\frac{4}{3}$a，$\frac{1}{3}$a；
（2）∵由題意得點N與點N′關于y軸對稱，
∴N′（$\frac{4}{3}$a，$\frac{1}{3}$a）．
將N′的坐標代入y=x²-2x-a得：$\frac{1}{3}$a=$\frac{16}{9}$a²-$\frac{8}{3}$a-a，
∴a₁=0（不合題意，舍去），a₂=$\frac{9}{4}$．
∴N（-3，$\frac{3}{4}$），
∴點N到y軸的距離為3．
∵A（0，-$\frac{9}{4}$），N'（3，$\frac{3}{4}$），
∴直線AN'的解析式為y=x-$\frac{9}{4}$，它與x軸的交點為D（$\frac{9}{4}$，0），
∴點D到y軸的距離為$\frac{9}{4}$．
由題知，A（0，a），C（0，-a），
∴點A，C關于x軸對稱，
∴AC=2AO，
∴S_△CDN=S_△ACN-S_△ACD=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×3-$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{27}{16}$；
（3）存在，理由如下：
①當點P在y軸的左側時，若四邊形ACPN是平行四邊形，
則PN∥AC，PN=AC，
則把N向上平移2a個單位得到P，坐標為（-$\frac{4}{3}$a，$\frac{7}{3}$a），
代入拋物線的解析式，得：$\frac{7}{3}$a=$\frac{16}{9}$a²+$\frac{8}{3}$a-a，
解得a₁=0（不舍題意，舍去），a₂=$\frac{3}{8}$，
則P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{8}$）；
②當點P在y軸的右側時，若四邊形APCN是平行四邊形，則AC與PN互相平分，
則OA=OC，OP=ON．
則P與N關于原點對稱，則P（$\frac{4}{3}$a，-$\frac{1}{3}$a）；
將P點坐標代入拋物線解析式得：-$\frac{1}{3}$a=$\frac{16}{9}$a²-$\frac{8}{3}$a-a，
解得a₁=0（不合題意，舍去），a₂=$\frac{15}{8}$，
則P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{8}$）．
故存在這樣的點P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{8}$）或P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{8}$），能使得以P，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評 本題是二次函數綜合題目，著重考查了待定系數法求函數解析式、圖形旋轉變換、平行四邊形的性質等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．