Question

6．如圖，雙曲線y=$\frac{3}{x}$與直線y=$\frac{2}{3}$x+1交于A、B兩點，A點在B點的右側(cè)．
（1）求A、B點的坐標(biāo)；
（2）點C是雙曲線上一點，點D是x軸上一點，是否存在點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，寫出求解過程和點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式即可得出A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)AB兩點的坐標(biāo)可求出線段AB的水平距離與豎直距離，再根據(jù)AB為平行四邊形的邊與對角線兩種情況進行討論即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{x}\\ y=\frac{2}{3}x+1\end{array}\right.$消去y得，2x²+3x-9=0，
解得x₁=-3，x₂=$\frac{3}{2}$，
點A的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，2），點B的坐標(biāo)為（-3，-1）．

（2）∵A（$\frac{3}{2}$，2），B（-3，-1），
∴線段AB的垂直距離為2-（-1）=3，水平距離為$\frac{3}{2}$-（-3）=$\frac{9}{2}$．
①令y=3，由y=$\frac{3}{x}$得x=1，則1-$\frac{9}{2}$=-$\frac{7}{2}$，
∴點D的坐標(biāo)（-$\frac{7}{2}$，0）；
②令y=-3，由y=$\frac{3}{x}$得x=-1，則-1+$\frac{9}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴點D的坐標(biāo)（$\frac{7}{2}$，0）；
③如圖，線段AB的中點E的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$），過點C作CF⊥x軸于點G，點E作EG⊥OF于x軸點G，
則EG=$\frac{1}{2}$，
∵EG是△CDF的中位線
∴CF=2EG=1，即F點的縱坐標(biāo)為1，
∴C（3，1），
∴F（3，0）．
∴DG=GF，即3+$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{4}$-x，解得x=-$\frac{9}{2}$．
點D的坐標(biāo)（-$\frac{9}{2}$，0）．
綜上所述，D點坐標(biāo)為（-$\frac{7}{2}$，0），（$\frac{7}{2}$，0）或（-$\frac{9}{2}$，0）．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，在解答（2）時要注意進行分類討論．