Question

15．如圖，已知直線y=ax+b與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）在第一象限內交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，與x軸交于點C（x₀，0）
（1）若A（2，2）、B（4，n）
①求直線和雙曲線解析式
②直接寫出S_△AOB=3
（2）直接寫出x₁、x₂、x₀之間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）①根據待定系數法即可解決．②求出直線與坐標軸的交點坐標，由三角形面積公式即可得出結果；
（2）設直線y=ax+b與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（ak≠0）的兩個交點的橫坐標為x₁、x₂，直線與  x軸交點的橫坐標為x₀，兩個解析式組成方程組，即可x₁、x₂、x₀之間的等量關系．

解答 解：（1）①∵直線y=ax+b與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）在第一象限內交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，A（2，2）、B（4，n），
∴k=2×2=4，
∴雙曲線解析式為y=$\frac{4}{x}$，
∴n=$\frac{4}{4}$=1，
∴B（4，1），
把A（2，2）、B（4，1）代入直線y=ax+b得：$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=2}\\{4a+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3；
②∵y=-$\frac{1}{2}$x+3，當y=0時，x=6；當x=0時，y=3，
∴C（6，0），
∴OC=6，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×6×3-$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$×6×1=3；
故答案為：3；
（3）x₁+x₂=x₀．理由如下：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+b}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$消去y得：ax²+bx-k=0，
∵直線y=ax+b與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（ak≠0）的兩個交點的橫坐標為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，
直線y=ax+b與x軸的交點為（-$\frac{b}{a}$，0），
∴x₀=-$\frac{b}{a}$，
∴x₁+x₂=x₀．

點評 本題考查反比例函數和一次函數的有關知識，解題的關鍵是理解方程組解與交點坐標的關系，體現數形結合的思想，屬于中考常考題型．