Question

設凸四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC=60°，AB=6，BC=4，AD=2，如果BC邊上一點E，線段DE將四邊形ABCD面積二等分，求CE長．

Answer 1

考點：面積及等積變換

專題：

分析：首先延長AD、BC交于點F，易得△FAB是正三角形，又由AB=6，BC=4，AD=2，求得DF=4，CF=2，即可得CD⊥BF，得到△FDC和△EDC均為直角三角形，又由S_{四邊形ABCD}=S_△FAB-S_△FCD=2S_△CDE，即可得

1

2

×6×3

3

-

1

2

×2×2

3

=2×

1

2

×2

3

×CE，繼而求得答案．

解答：解：延長AD、BC交于點F，
∵∠DAB=∠ABC=60°，
∴AF=BF，
∴△FAB是正三角形，
∴AF=BF=AB=6，
∴DF=AF-AD=6-2=4，CF=BF-BC=6-4=2，
∵∠F=60°，
∴DC⊥BF，
∴△FDC和△EDC均為直角三角形，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△FAB-S_△FCD=2S_△CDE，
∵DC=

DF2-CF2

=2

3

，
∵△OAB的高為：AF•sin60°=6×

3

2

=3

3

，
∴

1

2

×6×3

3

-

1

2

×2×2

3

=2×

1

2

×2

3

×CE，
∴CE=

7

2

．

點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質、直角三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．