Question

20．已知△ABC是⊙O的內接三角形，AB為直徑，AC=12，BC=5，CD平分∠ACB角⊙O于D，I為△ABC的內心，則DI的長度為（　　）

• A． $\frac{13}{2}$
• B． $\frac{13\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{13\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{15}{2}$

Answer 1

分析 如圖，連接AD、BD，AI．先求出AD，再證明DI=DA即可解決問題．

解答 解：如圖，連接AD、BD，AI．

∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC=2，BC=5，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∵∠ACD=∠DCB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠ACD=45°
∵I是內心，
∴∠IAC=∠IAB，
∵∠AID=∠ACD+∠CAI=45°+∠CAI，∠IAD=∠IAB+∠DAB=∠IAB+45°，
∴∠DAI=∠DIA，
∴ID=AD=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，
故選B．

點評 本題考查三角形的外接圓與外心，三角形的內切圓與內心，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，判斷DI=DA是突破點，屬于中考常考題型．