Question

10．如圖，△OAB與△OCD都是等邊三角形，連接AC、BD相交于點(diǎn)E．
（1）求證：①△OAC≌△OBD，②∠AEB=60°；
（2）連結(jié)OE，OE是否平分∠AED？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)SAS即可判定．②由△OAC≌OBD，推出∠OAE=∠OBD，由△OAB是等邊三角形，推出∠OAB+∠OBA=120°，推出∠OAE+∠BAE+∠OBA=120°，即∠EAB+∠EBA=120°，推出∠AEB=60°．
（2）OE平分∠AED．作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N．由△OAC≌△OBD，推出S_△OAC=S_△OBD，推出$\frac{1}{2}$•AC•OM=$\frac{1}{2}$•BD•ON，推出OM=ON，再根據(jù)角平分線(xiàn)判定定理即可證明．

解答 （1）證明：①∵△OAB與△OCD都是等邊三角形，
∴OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
∴△OAC≌△OBD．

②∵△OAC≌OBD，
∴∠OAE=∠OBD，
∵△OAB是等邊三角形，
∴∠OAB+∠OBA=120°，
∴∠OAE+∠BAE+∠OBA=120°，
即∠EAB+∠EBA=120°，
∴∠AEB=60°．
                           
（2）解：OE平分∠AED．理由如下：
作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N．
∵△OAC≌△OBD，
∴S_△OAC=S_△OBD，
∴$\frac{1}{2}$•AC•OM=$\frac{1}{2}$•BD•ON，
∴OM=ON，
∴OE平分∠AED．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線(xiàn)的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用面積法證明線(xiàn)段相等，屬于中考常考題型．