Question

6．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E在BC邊所在的直線上，且BC²=BD•CE．
（1）求∠DAE的度數．
（2）求證：AD²=DB•DE．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=60°，利用等角的補角相等得到∠ABD=∠ACE，然后把題中已知的等式化為比例的形式，根據兩邊對應成比例，且夾角對應相等的兩三角形相似即可得證；
（2）由于∠DAE=∠ADB=120°，∠D=∠D，推出△ABD∽△EAD根據相似三角形的性質得到$\frac{AD}{DE}=\frac{DB}{AD}$，即可得到結論．

解答 證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∴∠ABD=∠ACE，
∵BC²=BD•CE，
∴AB•AC=BD•CE，
即$\frac{AB}{BD}=\frac{CE}{AC}$，
∴△ABD∽△ECA；
∴∠DAB=∠E，
∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠EAC=120°；

（2）∵∠DAE=∠ADB=120°，∠D=∠D，
∴△ABD∽△EAD
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{DB}{AD}$，
∴AD²=DB•DE．

點評 本題考查了等邊三角形性的性質以及相似三角形的判定，證明三角形相似的方法有：①兩角對應相等兩三角形相似；②兩邊對應成比例，且夾角對應相等兩三角形相似；③三邊對應成比例兩三角形相似．做題時要根據已知的條件，選擇合適的方法．把AB•AC=BD•CE化為比例的形式，得到兩三角形的對應邊成比例是解本題的關鍵．