Question

某公司生產一種新型節能電水壺并加以銷售，現準備在甲城市和乙城市兩個不同地方按不同銷售方案進行銷售，以便開拓市場．
若只在甲城市銷售，銷售價格為y（元/件）、月銷量為x（件），y是x的一次函數

月銷量x（件）	1500	2000
銷售價格y（元/件）	185	180

成本為50元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費72500元，設月利潤為W_甲（元）（利潤=銷售額-成本-廣告費）．
若只在乙城市銷售，銷售價格為200 元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為常數，40≤a≤70），當月銷量為x（件）時，每月還需繳納

1

100

x2元的附加費，設月利潤為W_乙（元）（利潤=銷售額-成本-附加費）．
（1）當x=1000 時，y=

 

元/件，w _甲=

 

元；
（2）分別求出W_甲，W_乙與x間的函數關系式（不必寫x的取值范圍）；
（3）當x為何值時，在甲城市銷售的月利潤最大？若在乙城市銷售月利潤的最大值與在甲城市銷售月利潤的最大值相同，求a 的值；
（4）如果某月要將5000件產品全部銷售完，請你通過分析幫公司決策，選擇在甲城市還是在乙城市銷售才能使所獲月利潤較大？

Answer 1

考點：二次函數的應用

專題：應用題

分析：（1）設y=kx+b，將表格中的兩點代入可確定y與x的函數關系式，令x=1000，可得出y；根據銷量及售價，可得出w_甲；
（2）根據甲城市的銷售方法可得出w_甲與x的函數關系式，根據題意所述乙城市的銷售方法，可得出W_乙與x的函數關系式．
（3）利用配方法可求出甲的利潤最大值，由在乙城市銷售月利潤的最大值與在甲城市銷售月利潤的最大值相同，可得出關于a的方程，解出即可；
（4）計算出x=5000時，兩城市銷售的利潤，然后利用不等式的知識進行作答即可．

解答：解：（1）設y_甲=kx+b，將點（1500，185），（2000，180）代入可得：

1500k+b=185 2000k+b=180

，
解得：

k=- 1 100 b=200

，
則設y_甲=-

1

100

x+200，
當x=1000時，y=190元/件；
w_甲=x（y-50）=1000×（140）-72500=67500元；
（2）w_甲=x（y-50）-72500=-

1

100

x²+150x-72500；
w_乙=-

1

100

x²+（200-a）x；
（3）w_甲=-

1

100

x²+150x-72500=-

1

100

（x-7500）²+490000；
當x=7500時，w_甲取得最大；
若在乙城市銷售月利潤的最大值與在甲城市銷售月利潤的最大值相同，則可得490000=

0-(200-a)2

4×(- 1 100 )

，
解得：a₁=60，a₂=340（不合題意，舍去）．
答：當x=7500時，w_甲最大，若在乙城市銷售月利潤的最大值與在甲城市銷售月利潤的最大值相同，a的值為60元/件．
（4）當x=5000時，w_甲=427500，w_乙=-5000a+750000，
若w_甲＜w_乙，則a＜64.5；
若w_甲=w_乙，則a=64.5；
若w甲＞w乙，則a＞64.5；
所以，當40≤a＜64.5時，選擇在乙銷售；
當a=64.5時，在甲和乙銷售都一樣；
當64.5＜a≤70時，選擇在甲銷售．

點評：本題考查了二次函數的應用，涉及了待定系數法求二次函數解析式，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際，利用函數知識解題，難度一般．