Question

7．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE=AC，
（1）求證：AD垂直平分CE；
（2）當∠ACB=2∠B時，求證：BE=CD．

Answer 1

分析 （1）通過給定條件可得知△AOE≌△AOC，由全等三角形的性質可得知邊角關系，從而得以解決；
（2）由三角形全等可得相對應兩邊相等，再借用三角形外角等于不相鄰的兩個內角之和，可尋找到邊的關系，從而問題得以解決．

解答 （1）證明：令AD與CE的交點為O，如圖
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAO=∠CAO，
在△EAO和△CAO中，
有$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAO=∠CAO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△AOC（SAS），
∴∠AOE=∠AOC，EO=CO，
∴AD垂直平分CE．
證畢．
（2）在△AED和△ACE中，
有$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAO=∠CAO}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠ACD=∠AED，CD=ED，
又∵∠AED=∠B+∠EDB，且∠ACB=2∠B，∠ACD=∠ACB（同角），
∴∠EBD=∠EBD，
∴BE=ED=CD，
證畢．

點評 本題考查了全等三角形的判定定理和性質，解題的關鍵是熟練的利用全等三角形的性質來解決求等邊等角的問題．