Question

3．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，按要求在這個直角三角形中完成一下的畫圖并證明：
（1）畫出∠C的角平分線，交AB于點D；
（2）延長BC到點E，使CE=AC，連接AE；
（3）求證：AE∥CD．

Answer 1

分析 （1）首先以C為圓心，小于AC長為半徑畫弧，兩弧交AC、BC于N、M，再分別以M、N為圓心，大于$\frac{1}{2}$MN長為半徑畫弧，兩弧交于點H，畫射線CH交AB于D；
（2）根據要求畫圖即可；
（3）首先根據角平分線的性質可得∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，再證明∠E=45°，根據同位角相等，兩直線平行可得結論．

解答 （1）解：如圖所示：

（2）解：如圖所示：

（3）證明：∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∵AC=EC，
∴∠E=∠CAE，
∴∠E=$\frac{180°-90°}{2}$=45°，
∴AE∥DC．

點評 此題主要考查了基本作圖，以及平行線的判定，關鍵是掌握角平分線的做法，平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行．