Question

2．已知，△ABC是半徑為1的⊙O的內接三角形，AB、AC的長分別為1、$\sqrt{2}$，求∠BAC的度數．

Answer 1

分析 根據題意畫出圖形，作出輔助線，由于AC與AB在圓心的同側還是異側不能確定，故應分兩種情況進行討論．

解答 解：分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別是D、E如圖所示：
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
在Rt△AOE和Rt△AOD中，
sin∠AOE=$\frac{AE}{AO}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin∠AOD=$\frac{AD}{AO}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，
∴∠BAO=60°，∠CAO=90°-45°=45°，
∴∠BAC=45°+60°=105°，或∠BAC′=60°-45°=15°．
∴∠BAC=15°或105°．
故答案是：15°或105°．

點評 本題考查的是垂徑定理及直角三角形的性質，解答此題時進行分類討論，不要漏解．