Question

11．如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形．
（1）求證：BD=CE；
（2）如圖2，若BD的中點為P，CE的中點為Q，請判斷△APQ的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據△ABC和△ADE都是等邊三角形，得出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠BAD=∠CAE，進而判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD=CE；
（2）先根據P是BD中點，Q是CE中點，BD=CE，得出BP=CQ，再根據△ABD≌△ACE，得到∠ABP=∠ACQ，進而判定△ABP≌△ACQ（SAS），即可得到AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，再根據∠PAQ=∠BAC=60°，即可得到△APQ是等邊三角形．

解答 解：（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；

（2）△APQ是等邊三角形．
理由：∵P是BD中點，Q是CE中點，BD=CE，
∴BP=CQ．
由（1）可得，△ABD≌△ACE，
∴∠ABP=∠ACQ，
在△ABP與△ACQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABP=∠ACQ}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，
∴∠BAP+∠CAP=∠CAQ+∠CAP，
∴∠PAQ=∠BAC=60°，
∴△APQ是等邊三角形．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握：兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等；有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．