Question

16．如圖，對稱軸為直線x=-1的拋物線y=x²+bx+c與x軸相交于A，B兩點，其中A點的坐標為（-3，0）．
（1）求點B的坐標；
（2）已知a=1，點C為拋物線與y軸的交點．
①若點P在拋物線上，且S_△POC=4S_△BOC，求點P的坐標；
②設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由點A與點B關于直線x=-1對稱可求得點B的坐標；
（2）①將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式可求得b、c的值，從而得到拋物線的解析式，設點P的坐標為（a，a²+2a-3），則點P到OC的距離為|a|．然后依據S_△POC=4S_△BOC列出關于a的方程，從而可求得a的值，于是可求得點P的坐標；
②先求得直線AC的解析式，設點D的坐標為（x，x²+2x-3），則點Q的坐標為（x，-x-3），然后可得到QD與x的函數的關系，最后利用配方法求得QD的最大值即可．

解答 解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=-1，A點的坐標為（-3，0），∴點B的坐標為（1，0）．
（2）①將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得：
解得：b=2，c=-3，
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3．
∵將x=0代入得y=-3，
∴點C的坐標為（0，-3）．
∴OC=3．
∵點B的坐標為（1，0），
∴OB=1．
設點P的坐標為（a，a²+2a-3），則點P到OC的距離為|a|．
∵S_△POC=4S_△BOC，
∴$\frac{1}{2}$OC•|a|=$\frac{1}{2}$OC•OB，即$\frac{1}{2}$×3×|a|=4×$\frac{1}{2}$×3×1，解得a=±4．
當a=4時，點P的坐標為（4，21）；
當a=-4時，點P的坐標為（-4，5）．
∴點P的坐標為（4，21）或（-4，5）．
②如圖所示：

設AC的解析式為y=kx-3，將點A的坐標代入得：-3k-3=0，解得k=-1，
∴直線AC的解析式為y=-x-3．
設點D的坐標為（x，x²+2x-3），則點Q的坐標為（x，-x-3）．
∴QD=-x-3-（ x²+2x-3）=-x-3-x²-2x+3=-x²-3x=-（x²+3x+$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{4}$）=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當x=-$\frac{3}{2}$時，QD有最大值，QD的最大值=$\frac{9}{4}$．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了拋物線的對稱性、待定系數法求二次函數的解析式，列出線段QD的長與點P橫坐標x之間的函數關系是解題的關鍵．