Question

15．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=$2\sqrt{3}$，點O是AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP=3．一動點E從O點出發，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動，到達A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點發發，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動，點E、F同時出發，當兩點相遇時停止運動，在點E、F的運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側．設運動的時間為t秒（t≥0）．
（1）當等邊△EFG的邊FG恰好經過點C時，求運動時間t的值；
（2）在整個運動過程中，設等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數關系式和相應的自變量t的取值范圍；
（3）設EG與矩形ABCD的對角線AC的交點為H，是否存在這樣的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當邊FG恰好經過點C時，由∠CFB=60°，得BF=3-t，在Rt△CBF中，根據三角函數求得t的值；
（2）根據運動的時間為t不同的取值范圍，求等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S的值，當0≤t＜1時，重疊部分是直角梯形，面積S等于梯形的面積，
當1≤t＜3時，重疊部分是S_梯形MKFE-S_△QBF，當3≤t＜4時，重疊部分是S_梯形MKFE，當4≤t＜6時，重疊部分是正三角形的面積；
（3）當AH=AO=3時，AM=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{3}{2}$，在R_t△AME中，由cos∠MAE=$\frac{AM}{AE}$，即cos30°=$\frac{\frac{3}{2}}{AE}$，得AE=$\sqrt{3}$，即3-t=$\sqrt{3}$或t-3=$\sqrt{3}$，求出t=3-$\sqrt{3}$或t=3+$\sqrt{3}$；
當AH=HO時，∠HOA=∠HAO=30°，又因為∠HEO=60°得到∠EHO=90°EO=2HE=2AE，再由AE+2AE=3，求出AE=1，即3-t=1或t-3=1，求出t=2或t=4；
當OH=OA=時∠HOB=∠OAH=30°，所以∠HOB=60°=∠HEB，得到點E和點O重合，從而求出t的值．

解答 解：（1）當等邊△EFG的邊FG恰好經過點C時，
∠CFB=∠GFE=60°，∠BCF=30°，
∵BF=3-t，BC=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠BCF=$\frac{BF}{BC}$，
即tan30°=$\frac{3-t}{2\sqrt{3}}$，
解得t=1
∴當等邊△EFG的邊FG恰好經過點C時，t=1；
（2）①如圖1，當0≤t＜1時，作MN⊥AB于點N，
∵tan∠MEN=tan60°=$\frac{MN}{EN}$=$\frac{2\sqrt{3}}{EN}$，
∴EN=2，
∵BE=BO+0E=3+t，EN=2，
∴CM=BN=BE-EN=3+t-2=t+1，
∴S=$\frac{1}{2}$（CM+BE）×BC=$\frac{1}{2}$（t+1+3+t）×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$．
②如圖2，當1≤t＜3時，
∵EF=OP=6，
∴GH=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∵$\frac{MK}{EF}$=$\frac{GH-MN}{GH}$，
∴$\frac{MK}{6}$=$\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$解得MK=2，
又∵BF=3-t，BQ=$\sqrt{3}$BF=$\sqrt{3}$（3-t），
∴S=S_梯形MKFE-S_△QBF，
=$\frac{1}{2}$（2+6）×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×（3-t）×$\sqrt{3}$×（3-t）
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+3$\sqrt{3}$t+$\frac{7\sqrt{3}}{2}$．
③如圖3，當3≤t＜4時
∵MN=2$\sqrt{3}$，EF=6-2（t-3）=12-2t，
∴GH=（12-2t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∴$\frac{MK}{EF}=\frac{GH-MN}{GH}$，
∴MK=8-2t，
S=-4$\sqrt{3}$t+20$\sqrt{3}$；
④如圖4，當4≤t＜6時，
∵EF=12-2t，
高為：EF•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF
S=$\sqrt{3}$t²-12$\sqrt{3}$t+36$\sqrt{3}$；
（3）存在t，使△AOH是等腰三角形．
理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAB=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=3-t或t-3
①如圖5，
當AH=AO=3時，過點E作EM⊥AH于M，
則AM=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{3}{2}$，
在Rt△AME中，cos∠MAE=$\frac{AM}{AE}$，
即cos30°=$\frac{\frac{3}{2}}{AE}$，
∴AE=$\sqrt{3}$，即3-t=$\sqrt{3}$或t-3=$\sqrt{3}$，
∴t=3-$\sqrt{3}$或t=3+$\sqrt{3}$．

②如圖6，
當HA=HO時，
則∠HOA=∠HAO=30°
又∵∠HEO=60°，
∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
又∵AE+EO=3，
∴AE+2AE=3，AE=1，
即3-t=1或t-3=1，
∴t=2或t=4；
③如圖7，
當OH=OA時，
則∠OHA=∠OAH=30°
∴∠HOB=60°=∠HEB，
∴點E和點O重合，
∴AE=AO=3，
當E剛開始運動時3-t=3，
當點E返回O時是：t-3=3，
即3-t=3或t-3=3，t=6（舍去）或t=0；
，綜上，可得存在t，使△AOH是等腰三角形，此時t=3-$\sqrt{3}$、3+$\sqrt{3}$、2、4或0．

點評 此題主要考查了 平行四邊形的性質、平行四邊形的判定、矩形、矩形的性質、矩形的判定、菱形、菱形的性質、菱形的判定 等知識，關鍵是根據特殊三角形的性質，分類討論．