Question

如圖，點A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函數y=

k

x

的圖象上．
（1）求m，k的值；
（2）求直線AB的函數表達式；
（3）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點M，N的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）根據反比例函數解析式求得k=xy；然后利用反比例函數圖象上點的坐標特征列出關于m的方程k=m（m+1）=（m+3）（m-1），從而求得k、m的值；
（2）利用待定系數法求出直線AB的解析式即可；
（3）這樣的平行四邊形有2個：點M分別位于x軸的正負半軸上、點N分別位于y軸的正負半軸上．

解答：解：（1）∵點A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函數y=

k

x

的圖象上，
∴k=xy，
∴k=m（m+1）=（m+3）（m-1），
∴m²+m=m²+2m-3，
解得m=3，
∴k=3×4=12；

（2）∵m=3，
∴A（3，4），B（6，2），
設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

4=3k+b 2=6k+b

，解得

k=- 2 3 b=6

，
∴直線AB的解析式為：y=-

2

3

x+6；

（3）作AM⊥x軸于M，過B作BN⊥y軸于N，兩線交于P，
∵由（1）知：A（3，4），B（6，2），
∴AP=PM=2，BP=PN=3，
∵四邊形ANMB是平行四邊形．
當M（-3，0）、N（0，-2）時，根據勾股定理能求出AM=BN，AB=MN，
即四邊形AMNB是平行四邊形，
∴此時M（3，0）、N（0，2）或M（-3，0）、N（0，-2）．

點評：本題考查了反比例函數綜合題，在解答（2）時，要注意進行分類討論，以免漏解．