Question

如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90°，BC=CD=6，∠ABE=45°，若AE=5，求CE的長．

Answer 1

考點：正方形的判定與性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理

專題：

分析：過點B作BF⊥AD交DA的延長線于F，可得四邊形BCDF是正方形，把△BCE繞點B順時針旋轉90°得到△BFG，根據旋轉的性質可得CE=FG，BE=BG，∠CBE=∠FBG，然后求出∠ABG=45°，從而得到∠ABE=∠ABG，再利用“邊角邊”證明△ABE和△ABG全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=AG，然后求出AF+CE=AE，設CE=x，表示出DE，再表示出AF、AD，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理列出方程求解即可得到CE的長度．

解答：解：如圖，過點B作BF⊥AD交DA的延長線于F，
∵AD∥BC，∠D=90°，BC=CD，
∴四邊形BCDF是正方形，
把△BCE繞點B順時針旋轉90°得到△BFG，
則CE=FG，BE=BG，∠CBE=∠FBG，
∵∠ABE=45°，
∴∠ABG=∠ABF+∠FBG=∠ABF+∠CBE=90°-∠ABE=90°-45°=45°，
∴∠ABE=∠ABG，
在△ABE和△ABG中，

BE=BG ∠ABE=∠ABG AB=AB

，
∴△ABE≌△ABG（SAS），
∴AE=AG，
∴AF+CE=AF+FG=AG=AE，
設CE=x，則DE=6-x，AF=5-x，
∴AD=6-（5-x）=x+1，
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，
即（x+1）²+（6-x）²=5²，
整理得，x²-5x+6=0，
解得x₁=2，x₂=3，
所以CE的長度是2或3．

點評：本題考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，旋轉的性質，作輔助線構造出正方形和全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．