Question

如圖，AB切⊙O于點B，OA交⊙O于C點，過C作DC⊥OA交AB于D，且BD：AD=1：2．
（1）求∠A的正切值；
（2）若OC=1，求AB及

BC

的長．

Answer 1

（1）（方法一）∵DC⊥OA，OC為半徑且點C在⊙O外端，
∴DC為⊙O的切線；
∵AB為⊙O的切線，∴DC=DB；
在Rt△ACD中，
∵sinA=

DC

AD

，BD：AD=1：2，
∴sinA=

1

2

；∴∠A=30°，
∴tanA=

3

3

．
（方法二）∵DC⊥OA，OC為半徑且點C在⊙O外端．
∴DC為⊙O的切線；
∵AB為⊙O的切線，∴DC=DB；
∵BD：AD=1：2，∴CD：AD=1：2；
∴設CD=k，AD=2k；
∴AC=

3

k；
∴tanA=

DC

AC

=

3

3

．

（2）連接OB；
∵AB是⊙O的切線，
∴OB⊥AB．
在Rt△AOB中，
∵tanA=

OB

AB

，OB=1；
∴AB=

3

∵∠A=30°，∴∠O=60°；
∴

BC

的長=

π

3

．