Question

已知在等式

ax+b

cx+d

=s中，a，b，c，d都是有理數，x是無理數，
（1）當a，b，c，d滿足什么條件時，s是有理數；
（2）當a，b，c，d滿足什么條件時，s是無理數．

Answer 1

（1）當a=c=0，d≠0時，s=

b

d

是有理數．
當c≠0時，s=

ax+b

cx+d

=

a c (cx+d)+b- ad c

cx+d

=

a

c

+

b- ad c

cx+d

，
其中：

a

c

是有理數，cx+d是無理數，b-

ad

c

是有理數．
要使s為有理數，只有b-

ad

c

=0，即bc=ad．
綜上知，當a=c=0且d≠0或c≠0且ad=bc時，s是有理數．
（2）當c=0，d≠0，且a≠0時，s是無理數．
當c≠0時，s=

ax+b

cx+d

=

a c (cx+d)+b- ad c

cx+d

=

a

c

+

b- ad c

cx+d

其中：

a

c

是有理數，cx+d是無理數，b-

ad

c

是有理數．
所以當b-

ad

c

≠0，即bc≠ad，s為無理數．
綜上知，當c=0，a≠0，d≠0或c≠0，ad≠bc時，s是無理數．