Question

18．如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)G，OA⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B的直線與CD的延長線交于點(diǎn)F，AC∥BF．
（1）若∠FGB=∠FBG，求證：BF是⊙O的切線；
（2）若tan∠F=$\frac{3}{4}$，CD=24，求⊙O的半徑；
（3）請問$\frac{{G{F^2}-G{B^2}}}{{\sqrt{2}DF•GF}}$的值為定值嗎？如是，請寫出計算過程，若不是請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由OA=OB，得出∠OAB=∠OBA，由OA⊥CD，得出∠OAB+∠AGC=90°，推出∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°，即可得出結(jié)論；
（2）由平行線得出∠ACF=∠F，求出CE=$\frac{1}{2}$CD=12，得出tan∠ACF=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{3}{4}$，求出AE=9，連接OC，設(shè)圓的半徑為r，則OE=r-9，由勾股定理得出方程，解方程即可；   
（3）連接BD，證明△BDG∽△FBG，得出對應(yīng)邊成比例$\frac{DG}{GB}=\frac{GB}{GF}$，得出GB²=DG•GF，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC=90°，
又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°，
∴OB⊥FB，
∵AB是⊙O的弦，
∴點(diǎn)B在⊙O上，
∴BF是⊙O的切線；                     
（2）解：∵AC∥BF，
∴∠ACF=∠F
∵CD=24，OA⊥CD，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=12，
∵tan∠F=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠ACF=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{3}{4}$，
即$\frac{AE}{12}=\frac{3}{4}$，
解得AE=9，
連接OC，如圖1所示：
設(shè)圓的半徑為r，則OE=r-9，
在Rt△OCE中，CE²+OE²=OC²，
即12²+（r-9）²=r²，
解得：r=12.5；   
（3）解：是定值$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；理由如下：
連接BD，如圖2所示：
∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F，
∴∠DBG=∠F，
∵∠DGB=∠FGB，
∴△BDG∽△FBG，
∴$\frac{DG}{GB}=\frac{GB}{GF}$，
即GB²=DG•GF，
∴$\frac{G{F}^{2}-G{B}^{2}}{\sqrt{2}DF•GF}$=$\frac{G{F}^{2}-DG•GF}{\sqrt{2}DF•GF}$=$\frac{GF（GF-DG）}{\sqrt{2}DF•GF}$=$\frac{GF•DF}{\sqrt{2}DF•GF}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形相似是解決問題（3）的關(guān)鍵．