Question

7．如圖．有一艘漁船P在捕魚作業時出現故障，急需搶修，調度中心通知附近兩個小島A，B上的觀測點進行觀測，從觀測站A測得漁船P在北偏西60°的方向，同時測得搜救船C也在北偏西60°的方向，從觀測站B測得漁船P在北偏東32°的方向，測得搜救船C在北偏西45°方向，已知觀測站A在觀測站B東40里處，問搜救船C與漁船P的距離是多少？（結果保留整數，參考數據：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85；tan32°≈0.62，sin58°≈0.85；cos58°≈0.53；tan58°≈1.60；$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）．

Answer 1

分析 過C作CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，連接PB，根據已知條件得到BD=CD，AD=$\sqrt{3}$CD，求得CD=20（$\sqrt{3}$+1）里，AD=40+20（$\sqrt{3}$+1）里，解直角三角形得到PE≈12，即可得到結論．

解答 解：過C作CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，連接PB，
∴∠CBD=45°，∠CAD=30°，∠PBE=58°，
∴BD=CD，AD=$\sqrt{3}$CD，
∵AB=40里，
∴$\frac{CD}{40+CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=20（$\sqrt{3}$+1），
∴AD=40+20（$\sqrt{3}$+1）里，
在Rt△PBE中，BE=$\frac{PE}{tan58°}$=$\frac{PE}{1.6}$，
在Rt△APE中，AE=$\sqrt{3}$PE，
∴$\frac{PE}{1.6}$+$\sqrt{3}$PE=40，
∴PE≈17，
∴AP=2PE=34，AC=2CD=40（$\sqrt{3}$+1），
∴CP=AC-PC=109-34=75（里）．
答：搜救船C與漁船P的距離是75里．

點評 本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．