Question

15．如圖，在 Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=4，BC=2$\sqrt{5}$，P是BC邊上的動點，設BP=x，若能在AC邊上找到一點Q，使∠BQP=90°，則x的取值范圍是$\frac{8\sqrt{5}}{5}$≤x≤2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先根據勾股定理計算出AC=6，由于∠BQP=90°，根據圓周角定理得到點Q在以PB為直徑的圓⊙M上，而點Q在AC上，則有AC與⊙M相切于點Q，連結MQ，根據切線的性質得MQ⊥AC，MQ=BM=$\frac{1}{2}$x，然后證明Rt△CMQ∽Rt△CAB，再利用相似比得到$\frac{1}{2}$x：4=（2$\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$x）：6，最后解方程即可．

解答 解：∵∠ABC=90°，AB=4，BC=2$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=6，
∵∠BQP=90°，
∴點Q在以PB為直徑的圓⊙M上，
∵點Q在AC上，
∴AC與⊙M相切于點Q，
連結MQ，如圖，則MQ⊥AC，MQ=BM=$\frac{1}{2}$x，
∵∠QCM=∠BCA，
∴Rt△CMQ∽Rt△CAB，
∴QM：AB=CM：AC，即$\frac{1}{2}$x：4=（2$\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$x）：6，
∴x=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
當P與C重合時，BP=2$\sqrt{5}$，
∴BP=x的取值范圍是：$\frac{8\sqrt{5}}{5}$≤x≤2$\sqrt{5}$，
故答案為：$\frac{8\sqrt{5}}{5}$≤x≤2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質．