Question

9．如圖，在△ABC中，點D是AC邊上一點，以AD為直徑的⊙O與邊BC切于點E，且AB=BE．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若BE=3，BC=7，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析 （1）連接OB、OE，由SSS證得△ABO≌△EBO（SSS），得出∠BAO=∠BEO，即可得出結論；
（2）由勾股定理求出AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$，再由△CEO∽△CAB，得出$\frac{OE}{AB}$=$\frac{CE}{AC}$，求出OE長即可．

解答 （1）證明：連接OB、OE，如圖所示：
在△ABO和△EBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{OA=OE}\\{OB=OB}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△EBO（SSS），
∴∠BAO=∠BEO，
∵⊙O與邊BC切于點E，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO=∠BAO=90°，
即AB⊥AD，
∴AB是⊙O的切線；
（2）解：∵BE=3，BC=7，
∴AB=BE=3，CE=4，
∵AB⊥AD，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-{3}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵OE⊥BC，
∴∠OEC=∠BAC=90°，
∠ECO=∠ACB，
∴△CEO∽△CAB，
∴$\frac{OE}{AB}$=$\frac{CE}{AC}$，
即$\frac{OE}{3}$=$\frac{4}{2\sqrt{10}}$，
解得：OE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴⊙O的半徑長為$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了切線的判定與性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形相似得出對應邊成比例是解決問題（2）的關鍵．