Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點，CE⊥AB于 E，BD交CE于點F．

（1）求證：CF﹦BF；

（2）若CD=6,AC=8,求⊙O的半徑及CE的長。

Answer 1

（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑為5，CE的長是．

【解析】

試題分析：（1）要證明CF﹦BF，可以證明∠1=∠2；AB是⊙O的直徑，則∠ACB﹦90°，又知CE⊥AB，則∠CEB﹦90°，則∠2﹦90°-∠ACE﹦∠A，∠1﹦∠A，則∠1=∠2；

（2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的長，即可求得圓的半徑；再根據三角形相似可以求得CE的長．

試題解析：（1）證明：

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB﹦90°

又∵CE⊥AB，

∴∠CEB﹦90°

∴∠2﹦90°-∠ACE﹦∠A，

∵C是的中點，

∴

∴∠1﹦∠A（等弧所對的圓周角相等），

∴∠1﹦∠2，

∴CF﹦BF；

（2）【解析】
∵C是的中點，CD﹦6，

∴BC=6，

∵∠ACB﹦90°，

∴AB2=AC2+BC2，

又∵BC=CD，

∴AB2=64+36=100，

∴AB=10，

∴CE=，

故⊙O的半徑為5，CE的長是．

考點：1.圓周角定理；2.勾股定理；3.圓心角、弧、弦的關系．