Question

已知二次函數y=ax2+bx的圖象經過點A（-5，0）和點B,其中點B在第一象限，且OA=OB，tan∠BAO=

（1）求點B的坐標。

（2）求二次函數的解析式。

（3）過點B作直線BC平行于x軸，直線BC與二次函數圖象的另一個交點為C，連結AC，如果點P在x軸上，且△ABC和△PAB相似，求點P的坐標。

Answer 1

（1）點B的坐標是（3，4），（2）y=x2+x；（3）點P的坐標為（6，0）或（，0）．

【解析】

試題分析：（1）過點B作BD⊥x軸，垂足為點D，根據余切的定義可設BD=x，AD=2x，在Rt△ODB中根據勾股定理可計算出x，則BD=4，OD=3，所以點B的坐標是（3，4）；

（2）利用待定系數法可確定二次函數的解析式；

（3）先確定C點的坐標為（-8，4），則BC=11，AB=4，由CB∥x軸得到∠ABC=∠BAP，再分類討論：當△ABC∽△BAP；當△ABC∽△PAB，然后利用比例線段求AP的長，從而確定P點坐標．

試題解析：（1）過點B作BD⊥x軸，垂足為點D，如圖，

在Rt△ADB中，∠ADB=90°，tan∠BAO=

設BD=x，AD=2x，

∵OA=0B=5，

∴OD=2x-5，

在Rt△ODB中，∵OD2+BD2=OB2，

∴（2x-5）2+x2=52，

解得x1=4，x2=0（不合題意，舍去），

∴BD=4，OD=3，

∴點B的坐標是（3，4），

（2）根據題意得

，

解這個方程組，得

，

∴二次函數的解析式是y=x2+x；

（3）∵直線BC平行于x軸，

∴C點的縱坐標為4，

設C點的坐標為（m，4）．

由題意得m2+m=4，

解得m1=3（不合題意，舍去），m2=-8，

∴C點的坐標為（-8，4），BC=11，AB=4

∵∠ABC=∠BAP，

①如果△ABC∽△BAP，那么

∴AP=11，點P的坐標為（6，0），

②如果△ABC∽△PAB，那么，

∴AP=，點P的坐標為（，0），

綜上所述，點P的坐標為（6，0）或（，0）．

考點：待定系數法求二次函數解析式．