Question

1．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．
（1）求證：△DFE是等腰直角三角形；
（2）判斷在此運動變化的過程中，四邊形CEDF的面積是否為定值？若是定值，則求出該定值；若不是定值，說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接CD，由SAS定理可證△CDF和△ADE全等，從而可證∠EDF=90°，DF=DE．所以△DEF是等腰直角三角形；
（2）由割補法可知四邊形CDFE的面積保持不變，利用三角形的面積公式求出答案．

解答 解：（1）連接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB，
∵AE=CF，
在△ADE與△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCB}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，∠CDF=∠ADE，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDF+∠CDE=∠EDF=90°，
∴DE⊥DF，
∴△DFE是等腰直角三角形；
②∵△ADE≌△CDF，
∴S_△CDF=S_△ADE
∴S_{四邊形CEFD}=S_△ADC．
∴四邊形CEDF的面積是為定值，
∴四邊形CEDF的面積為$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4=4．

點評 該題主要考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性質等幾何知識點及其應用問題；解題的關鍵是牢固掌握全等三角形的判定、等腰直角三角形的性質，此題有一定的難度．