Question

3．如圖，⊙O是△ABC的內切圓，點D，E，F為切點．
（1）若AB=8，BC=9，AC=5，求EB的長；
（2）若∠DEF=50°，求∠A的度數．

Answer 1

分析 （1）設BE=xcm，由于⊙O是△ABC的內切圓，則根據切線長定理得到BD=BE=x，CE=CF，AD=AF，然后利用CE=BC-BE=9-x，AD=AB-BD=8-x，又因為AC=AF+CF=5，進而可得到關于x的方程，解方程求出x的值即可；
（2）連接OD，OF，由切線的性質定理和四邊形內角和定理即可求出∠A的度數．

解答 解：
（1）設BE=xcm，
∵⊙O是△ABC的內切圓，點D，E，F為切點，
∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，
∴BD=BE=x，CE=CF=BC-BE=9-x，AD=AF=AB-BD=8-x，
∵AC=5，
∴8-x+9-x=5，
∴x=6，
∴EB=6；

（2）連接OD，OF，
∵⊙O是△ABC的內切圓，點D，F為切點，
∴∠ADO=∠AFO=90°，
∴∠A=180°-∠DOF，
∵∠DEF=50°，
∴∠DOF=100°，
∴∠A=80°．

點評 本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．也考查了切線長定理．