Question

（1）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線，CD是高，                AE、CD相交于點F．求證：∠CFE=∠CEF；

（2）交換（1）中的條件與結論，得到（1）的一個逆命題：

已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，E                   是BC上一點，AE與CD相交于點F，若∠CFE=∠CEF，則∠CAE=∠BAE．你認為這個問題是真命題還是假命題？若是真命題，請給出證明；若是假命題，請舉出反例．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠ACD+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，

∴∠ACD=∠B（2分）；∵AE是角平分線，∴∠CAE=∠BAE（3分）；∵∠CFE=

∠CAE+∠ACD，∠CEF=∠BAE+∠B，∴∠CFE=∠CEF（5分）；

（2）真命題（6分）.證明：∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠ACD+∠CAB=90°，

∠B+∠CAB=90°，∴∠ACD=∠B（8分）；∵∠CFE=∠CAE+∠ACD，∠CEF=

∠BAE+∠B，∠CFE=∠CEF，∴∠CAE=∠BAE，即AE是角平分線（10分）．