Question

（1）如圖A、B兩個化工廠位于一段直線形河堤的同側，A工廠至河堤的距離AC為1km，B工廠到河堤的距離BD為2km，經測量河堤上C、D兩地間的距離為6km．現準備在河堤邊修建一個污水處理廠，為使A、B兩廠到污水處理廠的排污管道最短，污水處理廠應建在距C地多遠的地方？

（2）通過以上解答，充分展開聯想，運用數形結合思想構造圖形，嘗試解決下面問題：若y=

x2+1

+

(9-x)2+4

，當x為何值時，y的值最小，并求出這個最小值．

Answer 1

分析：（1）先作出A點關于直線CD的對稱點E，連接BE交CD于P點，由相似三角形的判定定理可得出△ACP∽△BDP，再由相似三角形的對應邊成比例即可求出CP的長；
（2）根據（1）建立圖形，使AC=1，CD=9，BD=2，設CP=x，再由△ACP∽△BDP即可求出CP的值，把x的值代入函數 y=

x2+1

+

(9-x)2+4

中即可求出其最小值．

解答：解：（1）延長AC到E，使CE=AC，連接EB交CD于點P，則點P就是污水處理廠所在的地方（畫出圖形）．

設CP=x，則DP=6-x，
由點A與點E的對稱性可知∠APC=∠EPC，
又由對頂角相等可知∠BPD=∠EPC，
∴∠APC=∠BPD，
又∵∠ACP=∠BDP=90°，
∴△ACP∽△BDP，
∴

AC

BD

=

CP

DP

∴

1

2

=

x

6-x

，
解得x=2，
所以，污水廠應建在距離C地2km處；

（2）仿照（1）中建立圖形，
使AC=1，CD=9，BD=2，設CP=x，
則 y=

x2+1

+

(9-x)2+4

中的

x2+1

即是圖中的AP，

(9-x)2+4

即是圖中的BP．
所以 y=

x2+1

+

(9-x)2+4

的最小值就是AP+BP的最小值，
仿照（1）中找到點A關于直線CD的對稱點E，連接EB，與CD的交點就是所求的點P．
由△ACP∽△BDP，得

AC

BD

=

CP

DP

，
所以

1

2

=

x

9-x

，
解得x=3，
所以當x=3時，y=

x2+1

+

(9-x)2+4

有最小值，
最小值是 y=

32+1

+

(9-3)2+4

=

10

+

40

=3

10

．

點評：本題考查的是最短線路問題及利用數形結合求函數的最值，熟知軸對稱的性質畫出圖形是解答此題的關鍵．