Question

如圖所示，兩個同樣大小的等邊△ABC和△ACD，邊長為12，它們拼成一個菱形ABCD，另一個足夠大等邊△AEF繞點A旋轉，AE與BC相交于點M，AF與CD相交于點N．
（1）判斷AM與AN是否相等，并簡要說明理由；
（2）求四邊形AMCN的面積；
（3）探索△AMN何時面積最小，并求出這個最小面積．

Answer 1

分析：（1）AM=AN，先證明△ACN≌△ABM，再根據全等三角形的對應邊相等的性質得出答案；
（2）先證明S_△ABC=S_{四邊形AMCN}，再用等量代換解答；
（3）根據兩點間垂直距離最短解答；

解答：（1）AM=AN．
證明：∵△ABC、△ACD、△AEF都是等邊三角形，
∴∠BAE+∠EAC=∠CAN+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAN．
又∵AB=AC，∠B=∠ACN，
∴△ACN≌△ABM，
∴AM=AN．

（2）解：由（1）得，△ACN≌△ABM，
∴S_△ABM+S_△AMC=S_△ACN+S_△AMC=S_{四邊形AMCN}，
又∵S_△ABM+S_△AMC=S_△ABC=

1

2

×12×12×sin60°=36

3

，
∴S_△ABC=S_{四邊形AMCN}=36

3

，
∴四邊形AMCN的面積是36

3

．

（3）解：∵△AEF是等邊三角形，
∴∠EAF=60°，
∴S_△AMN=

1

2

AN•AM•sin60°，
∴只要AN、AM取最小值，S_△AMN就最小，
∵兩點間的垂直距離最短，
∴當AN⊥CD、AM⊥BC時，△AMN面積最小．
在△ABM中，AM=12×sin60°=6

3

，
在△ANC中，AN=12×sin60°=6

3

，
∴S_△AMN=

1

2

AM•ANsin60°=27

3

，
∴當AN⊥CD、AM⊥BC時，△AMN面積最小，△AMN的最小面積是27

3

．

點評：解答本題的難點是全等三角形的判定．在突破難點時，充分利用等邊三角形的性質：三條邊相等，三個角相等且都是60°．