Question

如圖所示，兩個同樣大小的等邊△ABC和△ACD，邊長為12，它們拼成一個菱形ABCD，另一個足夠大等邊△AEF繞點A旋轉，AE與BC相交于點M，AF與CD相交于點N．
（1）判斷AM與AN是否相等，并簡要說明理由；
（2）求四邊形AMCN的面積；
（3）探索△AMN何時面積最小，并求出這個最小面積．

Answer 1

證明：（1）AM=AN．
∵△ABC、△ACD、△AEF都是等邊三角形，
∴∠BAE+∠EAC=∠CAN+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAN．
又∵AB=AC，∠B=∠ACN，
∴△ACN≌△ABM，
∴AM=AN
（2）解：由（1）得，△ACN≌△ABM，
∴S_△ABM+S_△AMC=S_△ACN+S_△AMC=S_{四邊形AMCN}，
又∵S_△ABM+S_△AMC=S_△ABC=×12×12×sin60°=36，
∴S_△ABC=S_{四邊形AMCN}=36，
∴四邊形AMCN的面積是36．
（3）解：∵△AEF是等邊三角形，
∴∠EAF=60°，
∴S_△AMN=AN﹒AMsin60°，
∴只要AN、AM取最小值，S_△AMN就最小，
∵兩點間的垂直距離最短，
∴當AN⊥CD、AM⊥BC時，△AMN面積最小．
在△ABM中，AE=12×sin60°=6，
在△ANC中，AN=12×sin60°=6，
∴S_△AMN=27，
∴當AN⊥CD、AM⊥BC時，△AMN面積最小，△AMN的最小面積是27．