Question

4．如圖，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AD⊥BC，垂足為D，弧AE等于弧AB，BE分別交AD、AC于點F、G．
（1）判斷△FAG的形狀，并說明理由；
（2）若點E和點A在BC的兩側，BE、AC的延長線交于點G，AD的延長線交BE于點F，其余條件不變，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據圓周角定理及垂直的定義得到∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，從而得到∠BAD=∠C，然后利用等弧對等角等知識得到AF=BF，從而證得FA=FG，判定等腰三角形；
（2）成立，證明方法同（1）．

解答 解：（1）等腰三角形；
∵BC為直徑，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵$\widehat{AE}=\widehat{AB}$，
∴∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠BAD，
∴AF=BF，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°，
∴∠DAC=∠AGB，
∴FA=FG，
∴△FAG是等腰三角形；
（2）成立；
∵BC為直徑，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵$\widehat{AE}=\widehat{AB}$，
∴∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠BAD，
∴AF=BF，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°，
∴∠DAC=∠AGB，
∴FA=FG，
∴△FAG是等腰三角形．

點評 本題考查了圓的綜合知識及垂徑定理、勾股定理等知識，解題的過程中注意等腰三角形的判定與圓的知識的結合，難度不大．