Question

2．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n交x軸于A、B兩點(diǎn)，直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與這條拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)M（1，2），且點(diǎn)M與拋物線的頂點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．
（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)拋物線與直線的另一交點(diǎn)為C，已知P為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，用含x的代數(shù)式表示線段PQ的長(zhǎng)，并求出PQ的最大值；
（3）若點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)E在拋物線上，是否存在以A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，從而可求得m=-1，由關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可知N（1，-2），將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入y=$\frac{1}{2}$x²-x+n可求得n的值；
（2）令$\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$=0，可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)（-1，0），然后依據(jù)待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式為y=x+1，由點(diǎn)P在AC上可求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為x+1，點(diǎn)Q在拋物線上可求得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為$\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$，然后根據(jù)PQ=y_p-y_Q可求得PQ的解析式，然后利用配方法可求得PQ的最大值為$\frac{9}{2}$；
（3）先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后由平行四邊形對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{m}{\frac{1}{2}×2}$=1，
∴m=-1．
∵點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，-2）．
將m=-1，x=1，y=-2代入得：$\frac{1}{2}-1+n=-2$．
解得：n=-$\frac{3}{2}$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$．
（2）如圖1所示：

令y=0得：$\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$=0．
解得：x₁=-1，x₂=3．
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A（-1，0），M（1，2）代入得；$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=1，b=1．
∴直線AM的解析式為y=x+1．
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，PQ⊥x軸，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x．
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為x+1，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為$\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$．
∴PQ=x+1-（$\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$）=$-\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x+$\frac{5}{2}$．
∵PQ=$-\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x+$\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+$\frac{9}{2}$，
∴當(dāng)x=2時(shí)，PQ有最大值，最大值為$\frac{9}{2}$．
（3）如圖2所示：

①當(dāng)AC=BC，PC=CE時(shí)，四邊形AEBP是平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，-2）．
如圖3所示：

②∵ABPE為平行四邊形，
∴PE∥AB，且PE=AB=4．
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為5．
將x=5代入y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$，得y=6．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，6）．
③∵ABPE′為平行四邊形，
∴PE′∥AB，且PE′=AB=4．
∴點(diǎn)E′的橫坐標(biāo)為-3．
將x=-3代入y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$，得y=6．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，6）．
綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，-2）或（5，6）或（-3，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、配方法求二次函數(shù)的最大值、平行四邊形的性質(zhì)和判定，依據(jù)PQ=P_y-Q_y列出關(guān)于PQ長(zhǎng)度的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．