Question

3．如圖，反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象與一次函數y=$\frac{1}{4}$x的圖象交于點A、B．點B的橫坐標是4．點P是第一象限內反比例函數圖象上的動點，且在直線AB的上方．
（1）若點P的坐標是（1，4），直接寫出k的值和△PAB的面積；
（2）在（1）的條件下，設直線PA，PB與x軸分別交于點M、N，求證：△PMN是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法先求出A、B兩點坐標，再利用待定系數法求出k的值，再證明△PAB是直角三角形，即可解決問題．
（2）求出直線PA的解析式為y=x+3，推出M（-3，0），C（0，3），推出OM=OC，推出∠PMN=45°，由∠MPN=90°，推出∠PNM=∠PMN=45°，推出PM=PN．

解答 解：（1）由題意點B坐標（4，1），
把點B（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$，得到k=4，
∵A、B關于原點對稱，
∴A（-4，-1），
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{68}$，PB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{18}$，PA=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{50}$，
∴AB²=PB²+PA²，
∴△PAB是直角三角形，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$•PA•PB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{50}$×$\sqrt{18}$=15．

（2）∵P（1，4），A（-4，-1），
設直線PA的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{-4k+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線PA的解析式為y=x+3，
∴M（-3，0），C（0，3），
∴OM=OC，
∴∠PMN=45°，∵∠MPN=90°，
∴∠PNM=∠PMN=45°，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形．

點評 本題考查反比例函數的解析式、一次函數的應用、待定系數法、勾股定理分逆定理、三角形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會構建一次函數，確定點的坐標，屬于中考常考題型．