Question

14．規定：M_（1）=-2，M_（2）=（-2）×（-2），M_（3）=（-2）×（-2）×（-2），…M_（n）=$\underset{\underbrace{（-2）×（-2）×（-2）×…（-2）}}{n個（-2）相乘}$
（1）計算：M_（5）+M_（6）
（2）求2×M_（2015）+M_（2016）的值
（3）試說明：2×M_（n）與 M_（n+1）互為相反數．

Answer 1

分析 （1）根據規定M_（5）=（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2），M_（6）=（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2），再按照運算法則運算即可；
（2）根據規定，2×M_（2015）+M_{（2016））}=2×$\underset{\underbrace{（-2）×（-2）×（-2）×…×（-2）}}{2015個（-2）相乘}$+$\underset{\underbrace{（-2）×（-2）×（-2）×…（-2）}}{2016個（-2）相乘}$，然后運算即可．  
（3）當n為奇數時，則n+1為偶數，2×M_（n）為-2ⁿ⁺¹，M_（n+1）為2ⁿ⁺¹，可得2×M_（n）+M_（n+1）=0，可得結論；
當n為偶數時，則n+1為奇數，2×M_（n）為2ⁿ⁺¹，M_（n+1）為-2ⁿ⁺¹，可得2×M_（n）+M_（n+1）=0，可得結論．

解答 （1）解：根據規定可得，
M_（5）=（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2），M_（6）=（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2），
∴M_（5）+M_（6）=（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2）+（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2）
=（-2）⁵+2⁶
=-2⁵+2⁶
=2⁵；

（2）解：根據規定，
2×M_（2015）+M_{（2016））}=2×$\underset{\underbrace{（-2）×（-2）×（-2）×…×（-2）}}{2015個（-2）相乘}$+$\underset{\underbrace{（-2）×（-2）×（-2）×…（-2）}}{2016個（-2）相乘}$，
=2×（-2²⁰¹⁵）+2²⁰¹⁶
=-2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁶
=0；

（3）證明：當n為奇數時，則n+1為偶數，
2×M_（n）=-2ⁿ⁺¹，M_（n+1）=2ⁿ⁺¹，
∴2×M_（n）+M_（n+1）=0，
∴2×M_（n）與 M_（n+1）互為相反數；
當n為偶數時，則n+1為奇數，
2×M_（n）=2ⁿ⁺¹，M_（n+1）=-2ⁿ⁺¹，
∴2×M_（n）+M_（n+1）=0，
∴2×M_（n）與 M_（n+1）互為相反數．

點評 本題主要考查了新定義運算和有理數的混合運算，掌握規律是解答此題的關鍵．