Question

【題目】△ABC和△ECD都是等邊三角形，△EBC可以看作是△DAC經過平移、軸對稱或旋轉得到．

（1）如圖1，當B，C，D在同一直線上，AC交BE于點F，AD交CE于點G，求證：CF=CG；

（2）如圖2，當△ABC繞點C旋轉至AD⊥CD時，連接BE并延長交AD于M，求證：MD=ME．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）先根據SAS判定△EBC≌△DAC，得出∠CDA=∠CEB，再根據ASA判定△DCG≌△ECF，即可得出CF=CG；

（2）先根據SAS判定△EBC≌△DAC，得出∠CDA=∠CEB，再連接CM，根據HL判定Rt△CDM≌Rt△CEM，即可得出MD=ME．

（1）如圖1．

∵△ABC和△ECD都是等邊三角形，∴∠BCA=∠DCE=60°，CD=CE，CA=CB，∴當B，C，D在同一直線上時，∠ACE=60°，∴∠BCE=∠ACD=120°．

在△EBC和△DAC中，∵，∴△EBC≌△DAC（SAS），∴∠CDA=∠CEB．

在△DCG和△ECF中，∵，∴△DCG≌△ECF（ASA），∴CF=CG；

（2）連接CM．如圖2．

∵△ABC和△ECD都是等邊三角形，∴∠BCA=∠DCE=60°，CD=CE，CA=CB，∴∠BCE=∠ACD．

在△EBC和△DAC中，∵，∴△EBC≌△DAC（SAS），∴∠CDA=∠CEB．

∵AD⊥CD，∴∠CEB=∠CDA=90°=∠CEM．

在Rt△CDM和Rt△CEM中，∵，∴Rt△CDM≌Rt△CEM（HL），∴MD=ME．