Question

17．已知拋物線C₁：y=ax²經過（-1，1）
（1）C₁的解析式為y=x²，頂點坐標為（0，0），對稱軸為y軸；
（2）如圖1，直線l：y=kx+2k-2經過定點P，過P的另一直線交拋物線C₁于A、B兩點．當PA=AB時，求A點坐標；
（3）如圖2，將C₁向下平移h（h＞0）個單位至C₂，M（-2，b）在C₂圖象上，過M作設MD、ME分別交拋物線于D、E．若△MDE的內心在直線y=b上，求證：直線DE一定與過原點的某條定直線平行．

Answer 1

分析 （1）把點的坐標代入拋物線解析式可求得a的值，則可求得拋物線解析式，可求得其頂點坐標和對稱軸；
（2）由直線l解析式可求得P點坐標，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由PA=AB和聯(lián)立直線和拋物線解析式，可求得A的坐標；
（3）過點M作直線l∥x軸，過點D作DF⊥l于F，過點E作EG⊥l于G，設D（x₁，x₁²-h）、E（x₂，x₂²-h），由相似三角形的性質可求得x₁+x₂=4，設直線DE解析式為y=kx+b，把D、E坐標代入可求得k=x₁+x₂=4，可證得結論．

解答 解：
（1）∵拋物線C₁：y=ax²經過（-1，1），
∴a=1，
∴拋物線解析式為y=x²，
∴頂點坐標為（0，0），對稱軸為y軸，
故答案為：y=x²；（0，0）；對稱軸為y軸；
（2）∵當x=-2時，y=-2，
∴P（-2，-2），
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
∵PA=PB
∴-2+x₂=2x₁①
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2k-2\\ y={x^2}\end{array}\right.$，整理得x²-kx-2k+2=0
∴x₁+x₂=k ②，x₁x₂=-2k+2 ③
由①得，${x_1}=\frac{k-2}{3}$，代入②③得，$k=-4±3\sqrt{3}$，
∴A點坐標為（$\sqrt{3}-2$，$7-4\sqrt{3}$）或（$-\sqrt{3}-2$，$7+4\sqrt{3}$）；
（3）過點M作直線l∥x軸，過點D作DF⊥l于F，過點E作EG⊥l于G，

設D（x₁，x₁²-h）、E（x₂，x₂²-h），則△MDF∽△MEG，
∴$\frac{{（{x_1}^2-h）-（4-h）}}{{{x_1}+2}}=\frac{{-[（{x_2}^2-h）-（4-h）]}}{{{x_2}+2}}$，得x₁+x₂=4，
設直線DE的解析式為y=kx+b
∴$\left\{\begin{array}{l}k{x_1}+b={x_1}^2-h\\ k{x_2}+b={x_2}^2-h\end{array}\right.$，得k=x₁+x₂=4
∴直線DE一定與過原點的直線y=4x平行．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、函數圖象的交點、一元二次方程根與系數的關系、兩直線平行、相似三角形的性質等知識．在（1）中注意待定系數法的應用步驟，在（2）中根據函數圖象的交點整理得到x₁、x₂和k的關系是解題的關鍵，在（3）用D、E的坐標表示出k是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．