Question

如圖，已知拋物線與x軸的一個交點為A（-1，0），另一個交點為B，與y軸的交點為C（0，-3），其頂點為D，對稱軸為直線．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點M為y軸上的一個動點，當△ACM是以AC為一腰的等腰三角形時，求點M的坐標；

（3）將△OBC沿x軸向右平移m個單位長度（0＜m＜3）得到另一個三角形△EFG，將△EFG與△BCD重疊部分的面積記為S，用含m的代數式表示S．

Answer 1

（1）；（2）M的坐標為，，；（3）．

【解析】

試題分析：（1）拋物線與x軸的一個交點為A（-1，0），對稱軸為直線，得到拋物線與x軸的另一個交點為B（3，0），把A、B、C的坐標代入拋物線，即可得到拋物線的解析式；

（2）①當AC=AM時C、M關于x軸對稱，得到M；

②當AC=CM時，AC=，以C為圓心，AC為半徑作圓與y軸有兩個交點，為M或M；

（3）分別求出直線BC、BD的解析式，分兩段計算重疊的面積：①，②．

試題解析：（1）由題意可知，拋物線與x軸的另一個交點為B（3，0），

則，，解得，故拋物線的解析式為：；

（2）①當AC=AM時C、M關于x軸對稱，得到M；

②當AC=CM時，AC=，以C為圓心，AC為半徑作圓與y軸有兩個交點，為M或M；

所以，點M的坐標為，，；

（3）記平移后的三角形為△EFG．設直線BC的解析式為y=kx+b，則：，解得：，則直線BC的解析式為，△OBC沿x軸向右平移m個單位長度（0＜m＜3）得到△EFG，易得直線FG的解析式為．設直線BD的解析式為y=k′x+b′，則：，解得，

則直線BD的解析式為，連結CG，直線CG交BD于H，則H（，-3）．

在△OBC沿x軸向右平移的過程中，

①當時，如圖1所示．

設EG交BC于點P，GF交BD于點Q，則CG=BF=m，BE=PE=3﹣m，聯立，解得，即點Q（3﹣m，-2m），

==

②當時，如圖2所示．

設EG交BC于點P，交BD于點N，則OE=m，BE=PE=3﹣m，又因為直線BD的解析式為，所以當x=m時，得y=2m﹣6，所以點N（m，2m-6）．

===，

綜上所述，．

考點：二次函數綜合題．