Question

某商場同時購進甲、乙兩種商品共200件，其進價和售價如下表，

商品名稱	甲	乙
進價（元/件）	80	100
售價（元/件）	160	240

設其中甲種商品購進x件

（1）若該商場購進這200件商品恰好用去17900元，求購進甲、乙兩種商品各多少件？

（2）若設該商場售完這200件商品的總利潤為y元．

①求y與x的函數關系式；

②該商品計劃最多投入18000元用于購買這兩種商品，則至少要購進多少件甲商品？若售完這些商品，則商場可獲得的最大利潤是多少元？

（3）實際進貨時，生產廠家對甲種商品的出廠價下調a元（50＜a＜70）出售，且限定商場最多購進120件，若商場保持同種商品的售價不變，請你根據以上信息及（2）中的條件，設計出使該商場獲得最大利潤的進貨方案．

Answer 1

【考點】一次函數的應用．

【分析】（1）甲種商品購進x件，乙種商品購進了200﹣x件，由總價=甲的單價×購進甲種商品的數量+乙的單價×購進乙種商品的數量，可得出關于x的一元一次方程，解出方程即可得出結論；

（2）①根據利潤=甲商品的單件利潤×數量+乙商品的單件利潤×數量，即可得出y關于x的函數解析式；

②根據總價=甲的單價×購進甲種商品的數量+乙的單價×購進乙種商品的數量，列出關于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，再根據y關于x函數的單調性即可解決最值問題；

（3）根據利潤=甲商品的單件利潤×數量+乙商品的單件利潤×數量，可得出y關于x的函數解析式，分x的系數大于0、小于0以及等于0三種情況考慮即可得出結論．

【解答】解：（1）甲種商品購進x件，乙種商品購進了200﹣x件，

由已知得：80x+100（200﹣x）=17900，

解得：x=105，

200﹣x=200﹣105=95（件）．

答：購進甲種商品105件，乙種商品95件．

（2）①由已知可得：y=（160﹣80）x+（240﹣100）（200﹣x）=﹣60x+28000（0≤x≤200）．

②由已知得：80x+100（200﹣x）≤18000，

解得：x≥100，

∵y=﹣60x+28000，在x取值范圍內單調遞減，

∴當x=100時，y有最大值，最大值為﹣60×100+28000=22000．

故該商場獲得的最大利潤為22000元．

（3）y=（160﹣80+a）x+（240﹣100）（200﹣x），

即y=（a﹣60）x+28000，其中100≤x≤120．

①當50＜a＜60時，a﹣60＜0，y隨x的增大而減小，

∴當x=100時，y有最大值，

即商場應購進甲、乙兩種商品各100件，獲利最大．

②當a=60時，a﹣60=0，y=28000，

即商場應購進甲種商品的數量滿足100≤x≤120的整數件時，獲利都一樣．

③當60＜x＜70時，a﹣60＞0，y歲x的增大而增大，

∴當x=120時，y有最大值，

即商場應購進甲種商品120件，乙種商品80件獲利最大．

【點評】本題考查了一次函數的應用、一元一次不等式的應用以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）根據數量關系列出關于x的一元一次方程；（2）根據數量關系找出y關于x的函數關系式；（3）根據一次函數的系數分類討論．本題屬于中檔題，難度不大，但過程比較繁瑣，因此再解決該題是一定要細心．