Question

8．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點M在⊙O上，∠M=∠D．
（1）判斷BC、MD的位置關系，并說明理由；
（2）若AE=16，BE=4，求線段CD的長．

Answer 1

分析 （1）根據在同圓中，相等的圓周角所對的弧相等，相等的弧所對的圓周角相等，可以判斷出BC、MD的位置關系；
（2）根據垂徑定理和AE=16，BE=4，可以得到AB和OE的長度，然后根據勾股定理可以求得CE的長度，進而求得CD的長度．

解答 解：（1）BC、MD的位置關系是平行，
理由：∵∠M=∠D，
∴$\widehat{BD}=\widehat{MC}$，
∴∠M=∠MBC，
∴BC∥MD；
（2）連接OC，
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，AE=16，BE=4，
∴∠OEC=90°，EC=ED，AB=AE+BE=20，
∴OC=10，OE=OB-BE=6，
∴CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}=8$，
∴CD=2CE=16，
即線段CD的長是16．

點評 本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理，解題此類問題的關鍵是明確題意，根據所要證明或求解的問題找出相應的條件，利用圓周角定理、垂徑定理和勾股定理的相關知識解答．