Question

1．已知x≠1，計算（1+x）（1-x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，
（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴．
（1）觀察以上各式并猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹．（n為正整數）
（2）根據你的猜想計算：
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=-63．
②2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2（n為正整數）．
③（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=x¹⁰⁰-1．
（3）通過以上規律請你進行下面的探索：
①（a-b）（a+b）=a²-b²．
②（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³．
③（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴．

Answer 1

分析 （1）根據題意易得（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（2）利用猜想的結論得到①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶=1-64=-63；
②先變形2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=2（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1）=-2（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1），然后利用上述結論寫出結果；
③先變形得到（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=-（1-x）（1+x+x²+…+x⁹⁹），然后利用上述結論寫出結果；
（3）根據規律易得①（a-b）（a+b）=a²-b²；②（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；③（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴．

解答 解：（1）（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（2）①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶=1-64=-63；
②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=2（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1）=-2（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1）=-2（1-2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2；
③（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=-（1-x）（1+x+x²+…+x⁹⁹）=-（1-x¹⁰⁰）=x¹⁰⁰-1；
（3）①（a-b）（a+b）=a²-b²；
②（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；
③（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴．
故答案為1-xⁿ⁺¹；-63；2ⁿ⁺¹-2；x¹⁰⁰-1；a²-b²，a³-b³，a⁴-b⁴．

點評 此題考查了整式的混合運算及數字變化類問題，根據題意熟練得到數字變化規律是解本題的關鍵．