Question

在△ABC中，邊BC、AC上的中線AE、BD相交于點G，過點G作MN∥BC，已知

BD

=

a

，

AC

=

b

，試用

a

和

b

表示

BC

、

MN

．

Answer 1

分析：先由D是AC上的中點，可知

DC

=

1

2

AC

=

1

2

b

，根據向量加法的三角形法則可以求出

BC

．根據點G為△ABC的重心，可得

AG

AE

=

2

3

，由平行線的性質可得MN=

2

3

BC，則

MN

易求．

解答：解：∵DC=

1

2

AC，
∴

DC

=

1

2

AC

=

1

2

b

，（2分）
∴

BC

=

BD

+

DC

=

a

+

1

2

b

；（2分）
∵中線AE、BD相交于點G，
即點G為△ABC的重心，
∴

AG

AE

=

2

3

，（2分）
∵MN∥BC，
∴

MN

BC

=

AN

AC

=

AG

AE

=

2

3

，
∴MN=

2

3

BC，（2分）
∴

MN

=

2

3

BC

=

2

3

(

a

+

1

2

b

)=

2

3

a

+

1

3

b

．

點評：本題難度中等，考查向量的知識．解題的關鍵是熟悉向量加法的三角形法則及三角形的重心的定義和平行線的性質．