Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，連接AD，過點A作直線MN，使∠MAC＝∠ADC．

（1）求證：直線MN是⊙O的切線．

（2）若sin∠ADC＝，AB＝8，AE＝3，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）由圓周角定理得到∠ACB=90°，求得∠BAM=90°，根據垂直的定義得到AB⊥MN，即可得到結論；
（2）連接OC，過E作EH⊥OC于H，根據三角函數的定義得到∠D=30°，求得∠AOC=60°，解直角三角形得到，根據相交弦定理得到結論．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B+∠BAC＝90°，

∵∠B＝∠D，∠MAC＝∠ADC，

∴∠B＝∠MAC，

∴∠MAC+∠CAB＝90°，

∴∠BAM＝90°，

∴AB⊥MN，

∴直線MN是⊙O的切線；

（2）解：連接OC，過E作EH⊥OC于H，

∵sin∠ADC＝，

∴∠D＝30°，

∴∠B＝∠D＝30°，

∴∠AOC＝60°，

∵AB＝8，

∴AO＝BO＝4，

∵AE＝3，

∴OE＝1，BE＝5，

∵∠EHO＝90°，

∴，

∴CH＝，

，

∵弦CD與AB交于點E，

由相交弦定理得，AEBE＝CEDE，

．