Question

【題目】如圖，拋物線y＝+bx+c經過△ABC的三個頂點，其中點A（0，﹣1），點B（9，﹣10），AC∥x軸，點P是直線AC上方拋物線上的動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點P且與y軸平行的直線l與直線AB，AC分別交于點E，F，當四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標；

（3）當點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）或．

【解析】

（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據平行于軸的直線上點的縱坐標相等，可得點的縱坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得點坐標，根據待定系數法，可得的解析式，根據直線上的點滿足函數解析式，可得點坐標，根據平行于軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得的長，根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；

（3）根據等腰直角三角形的性質，可得，根據相似三角形的判定，可得關于的方程，根據解方程，可得答案．

解：（1）將，代入函數解析式，得

，

解得，

拋物線的解析式；

（2）軸，，

．

解得，．

點的坐標為．

點，，

直線的解析式為．

設點，

．

．

，，

．

，

當時，四邊形的面積的最大值是．

此時點，．

（3），

．

，．

．

．

同理可得．

．

分兩種情況：如圖，

①當時，．

，，，

．

解得．

．

②當時，．即．

解得．

．

綜合①②得，存在這樣的點，其坐標是或．