Question

2．如圖，已知拋物線經過點A（-2，0），點B（-3，3）及原點O，頂點為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P是拋物線的第一象限內的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）是否存在動點D在拋物線上，動點E在拋物線的對稱軸上，且以AO為邊，以A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法，利用A、B、O三點的坐標可求得拋物線解析式；
（2）由B、C的坐標可求得OB、OC的長，且可求得∠BOC=90°，設出P點坐標，可表示出PM和AM的長，當△PMA和△BOC相似時可得到$\frac{PM}{OB}$=$\frac{AM}{OC}$或$\frac{PM}{OC}$=$\frac{AM}{OB}$，從而可求得P點坐標；
（3）AO為四邊形的一邊時，過E作ED∥AO，且DE=AO=2，則可求得D點的橫坐標，從而可求得D點坐標．

解答 解：
（1）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
將A（-2，0），B（-3，3），O（0，0）代入可得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{9a-3b+c=3}\\{c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²+2x；
（2）存在．理由如下：
∵y=x²+2x=（x+1）²-1，
∴C點坐標為（-1，-1），
∴∠AOC=45°，OC=$\sqrt{2}$，
∵B（-3，-3），
∴∠BOA=45°，OB=3$\sqrt{2}$，
∴∠BOC=90°，
過P作PM⊥x軸于點M，連接AP，如圖1，

設P點坐標為（x，x²+2x），
∵P點在第一象限，
∴PM=x²+2x，AM=AO+OM=x+2，
∵∠PMA=∠BOC=90°，
∴當△PMA和△BOC相似時則有$\frac{PM}{OB}$=$\frac{AM}{OC}$或$\frac{PM}{OC}$=$\frac{AM}{OB}$，
①當$\frac{PM}{OB}$=$\frac{AM}{OC}$時，則有$\frac{{x}^{2}+2x}{3\sqrt{2}}$=$\frac{x+2}{\sqrt{2}}$，即x²-x-6=0，解得x=3或x=-2（舍去），
此時P點坐標為（3，15）；
②當$\frac{PM}{OC}$=$\frac{AM}{OB}$時，則有$\frac{{x}^{2}+2x}{\sqrt{2}}$=$\frac{x+2}{3\sqrt{2}}$，即3x²+5x-2=0，解得x=$\frac{1}{3}$或x=-2（舍去），
此時P點坐標為（$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$）；
綜上可知存在滿足條件的P點，其坐標為（3，15）或（$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$）；
（3）存在，D點坐標為（1，3）或（-3，3）．
當以A、O、D、E為頂點的平行四邊形時，且AO為邊，
則有DE=AO=2，且DE∥AO，
∴D點只能在x軸上方，
過點E作DE∥x軸，交拋物線與點D，如圖2，

設D點橫坐標為x，
∵E點在拋物線對稱軸上，
∴E點橫坐標為-1，
∴DE=|x+1|=2，
解得x=1或x=-3，
∴D點坐標為（1，3）或（-3，3）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及知識點有待定系數法、拋物線的頂點烴、對稱軸、相似三角形的判定和性質、平行四邊形的性質及分類討論思想等．在（2）中求得∠BOC=90°是解題的關鍵，注意相似三角形的對應關系，在（3）中確定出D點的位置是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．