Question

4．在Rt△ABC中，a，b為直角邊長，c為斜邊長，h為斜邊上的高，求證：以$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{h}$為三邊長的三角形是直角三角形．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理，可用a、b表示，根據(jù)三角形的面積，可用a、b表示h，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得答案．

解答 證明：∵Rt△ABC中，a，b為直角邊長，c為斜邊長，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
∵三角形的面積，
∴$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ch=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$h，
∴h=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．
∵（$\frac{1}{a}$）²+（$\frac{1}{b}$）²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$，（$\frac{1}{h}$）²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$，
（$\frac{1}{a}$）²+（$\frac{1}{b}$）²=（$\frac{1}{h}$）²，
∴以$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{h}$為三邊長的三角形是直角三角形．

點評 本題考查了勾股定理的逆定理，利用三角形的面積得出h=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$是解題關(guān)鍵．