Question

4．如圖，在直角坐標系中，直線y=-x+4交矩形OACB于F與G，交x軸于D，交y軸于E．若∠FOG=45°，求矩形OACB的面積8．

Answer 1

分析 根據一次函數解析式求得OD=OE=4，則△EOD是等腰直角三角形，得出∠ODE=∠OED=45°，由∠OGE=∠ODF+∠DOG=45°+∠DOG，∠DOF=∠EOF++∠DOG=45°+∠DOG得出∠DOF=∠OGE，從而證得△DOF∽△EGO，得出$\frac{DF}{OE}$=$\frac{OD}{EG}$，DF•EG=OE•OD=16，過點F作FM⊥x軸于點M，過點G作GN⊥y軸于點N．則易知DF=$\sqrt{2}$b，GE=$\sqrt{2}$a，得出DF•GE=2ab=16，求得ab=8．

解答 解：∵直線y=-x+4與x軸，y軸分別交于點D，點E，
∴OD=OE=4，
∴∠ODE=∠OED=45°；
∴∠OGE=∠ODF+∠DOG=45°+∠DOG，
∵∠EOF=45°，
∴∠DOF=∠EOF++∠DOG=45°+∠DOG，
∴∠DOF=∠OGE，
∴△DOF∽△EGO，
∴$\frac{DF}{OE}$=$\frac{OD}{EG}$，
∴DF•EG=OE•OD=16，
過點F作FM⊥x軸于點M，過點G作GN⊥y軸于點N．
∴△DMF和△ENG是等腰直角三角形，
∵NG=AC=a，FM=BC=b，
∴DF=$\sqrt{2}$b，GE=$\sqrt{2}$a，
∴DF•GE=2ab，
∴2ab=16，
∴ab=8，
∴矩形OACB的面積=ab=8．
故答案為8．

點評 本題是一次函數的綜合題，考查了一次函數圖象上點的坐標特征，三角形相似的判定和性質找出輔助線構建等腰直角三角形，求得DF=$\sqrt{2}$b，GE=$\sqrt{2}$a是解題的關鍵．